Родился 28 декабря 1929 года в семье плотника. В 1937 году вместе с семьей переехал в Казахскую ССР, где окончил среднюю школу в городе Баканас Алматинской области. Интерес к рисованию проявился еще в детстве, однако художественного образования он не получил, освоив основы мастерства самостоятельно. В годы Великой Отечественной войны работал радистом на военном аэродроме, за что был награжден медалью «За доблестный труд в Великой Отечественной войне 1941–1945 гг.».
В 1947 году переехал в Николаев, где начал работать учеником художника в мастерской кинорекламы при областном управлении культуры. В 1950–1953 годах проходил службу в Вооруженных силах СССР, после чего, с 1954 года, работал в мастерских Художественного фонда Украинской ССР. В 1967 году был принят в Союз художников Украины, а в 1970 году выступил одним из инициаторов создания Николаевской областной организации Союза художников Украины.
С середины 1960-х годов Анатолий Завгородний принимал активное участие в областных, республиканских, всесоюзных и международных художественных выставках. Персональные выставки художника состоялись в Николаеве, Очакове, Киеве. В 1977 году ему было присвоено почетное звание «Заслуженный художник УССР». Среди государственных наград мастера — орден «Знак Почета».
Творчество Завгороднего охватывает станковую живопись и графику. Художник работал в жанрах пейзажа, натюрморта и портрета, однако наиболее известен произведениями, посвященными морской тематике и кораблестроению. Его полотна отличают философская глубина, лиризм, реалистическая манера письма и тонкое чувство композиции. Любимой техникой художника была гуашь, а в колористическом решении он часто отдавал предпочтение мягким пастельным и серо-голубым оттенкам, передающим атмосферу моря и южного света.
Произведения художника находятся в собраниях Николаевского музея судостроения и флота, Очаковского музея маринистической живописи, а также в частных коллекциях в России и странах СНГ.
