Родился 24 января 1872 года в Феодосии. В 1880 году поступил в классическую гимназию. Учился в Феодосии у Адольфа Фесслера, в мастерской Ивана Константиновича Айвазовского. С 1891 по 1895 гг. учился в Петербургской Академии художеств в мастерской профессора А.И. Куинджи. В 1890 году ездил на этюды на Волгу. В 1897 году вместе с А.И. Куинджи и его учениками едет в Германию, Францию и Австрию. С 1900 года К.Ф. Богаевский участвует в выставках, сначала в Петербурге, затем в Венеции, Мюнхене (Сецессион), Париже и Москве. В 1904 году вступил в «Новое общество художников», затем был призван на военную службу, служил в Керченской крепости. С 1905 по 1910 гг. участвовал в выставках «Нового общества художников». В 1906 году демобилизовался и женился.
В 1908 – 1909 гг. путешествовал по Германии, Италии и Греции. В 1910 году избран членом Московского Товарищества Художников. В том же году вышла книга стихов Максимилиана Волошина «Годы странствий», иллюстрированная рисунками К.Ф. Богаевского. В 1911 – 1914 гг. участвовал в выставках «Мира искусства». В 1912 году завершил работу над тремя панно по заказу М.П. Рябушинского для особняка в Спиридоньевском переулке в Москве. В 1914 году в связи с началом войны был призван в армию, служил под Севастополем, демобилизован в 1918 году.
В 1923 году издает альбом литографий «Пейзажи Киммерии». Участвует в выставке «Русская литография за 25 лет» в Петрограде. Работает над четырьмя панно для Первой сельскохозяйственной выставки в Москве. В 1924 году вступил в общество художников «Жар-цвет». С 1924 по 1928 гг. участвовал в выставках общества «Жар-цвет». В 1924 – 1930 гг. работает по заданию Крымохриса по зарисовке памятников старины в Крыму. В 1927 году состоялась выставка в Казани, посвященная 30-летию творческой деятельности К.Ф. Богаевского. В 1929 – 1934 гг. работает над индустриальными пейзажами по заданию Всекохудожника, становится одним из основателей индустриального пейзажа.
В 1931–1932 гг. участвовал в выставках Союза советских художников. В 1933 году участвовал в выставке «Художники РСФСР за 15 лет. 1917 – 1932». Принимал участие в Международной выставке живописи в Нью-Йорке и Чикаго. Получил звание заслуженный деятель искусств РСФСР. В 1936 – 1939 гг. работал в Тарусе. В 1937 году принимал участие во всесоюзной художественной выставке «Индустрия социализма» в Москве. В 1941 году оказался в оккупации. Погиб в 1943 году.
Работы художника находятся в ГТГ, ГРМ, Севастопольском художественном музее им. М.П. Крошицкого, Феодосийской картинной галерее им. И.К. Айвазовского, а также в частных собраниях России и Европы.
